【題目】如圖,在多面體中,四邊形
和
都是直角梯形,
,
,
,
,
,,
是
的中點。
(1)求證:;
(2)已知是
的中點,求證:
;
(3)求直線與平面
所成角的大小。
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)取PD中點G,連結(jié)GF,AG,推導(dǎo)出四邊形ABFG是平行四邊形,從而AG∥BF,進而能證明BF∥平面ADP.
(2)已知O是BD的中點,證明FO⊥BD,AO⊥BD,即可證明:BD⊥平面AOF.
(2)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由(2)可知為平面
的法向量,利用向量法直線
與平面
所成角的大小.
(1)取PD中點G,連結(jié)GF,AG,
∵AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中點,
∴FGAB,∴四邊形ABFG是平行四邊形,∴AG∥BF,
∵AG平面ADP,BF平面ADP,∴BF∥平面ADP.
(2)由(1)可知FM=PE,DM=BM=2PE,∴FD=FBPE,
∵O是BD的中點,∴FO⊥BD,
∵AD=AB,O是BD的中點,∴AO⊥BD,
∵AO∩FO=O,
∴BD⊥平面AOF.
(3)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)PE=1,則B(2,2,0),D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,3,0),E(0,1,2),F(0,2,1),
(2,2,0),
(0,-1,1),
由(2)可知為平面
的法向量,
設(shè)直線與平面
所成角為θ,
則sinθ=cos<>
.
∴θ=.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=AD=1,CD=2,若將△BCD沿著BD折起至△BC'D,使得AD⊥BC'.
(1)求證:平面C'BD⊥平面ABD;
(2)求C'D與平面ABC'所成角的正弦值;
(3)M為BD中點,求二面角M﹣AC'﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線E的極坐標(biāo)方程為4(ρ2-4)sin2θ=(16-ρ2)cos2θ,以極軸為x軸的非負(fù)半軸,極點O為坐標(biāo)原點,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)寫出曲線E的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點P為曲線E上動點,點M為線段OP的中點,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),求點M到直線l的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,
分別為雙曲線
的左、右焦點,點P是以
為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點,若線段
的中點Q在C的漸近線上,則C的兩條漸近線方程為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an+1﹣an}是首項為,公比為
的等比數(shù)列,a1=1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{(3n﹣1)an}的前n項和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蔬果經(jīng)銷商銷售某種蔬果,售價為每公斤25元,成本為每公斤15元.銷售宗旨是當(dāng)天進貨當(dāng)天銷售.如果當(dāng)天賣不出去,未售出的全部降價以每公斤10元處理完.根據(jù)以往的銷售情況,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算該種蔬果日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表);
(2)該經(jīng)銷商某天購進了250公斤這種蔬果,假設(shè)當(dāng)天的需求量為公斤
,利潤為
元.求
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式,并結(jié)合頻率分布直方圖估計利潤
不小于1750元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場從2018年1月份起的前這個月,顧客對某商品的需求總量,(單位:件)與x的關(guān)系近似地滿足
(其中
,且
),該商品第x月的進貨單價
(單位:元)與x的近似關(guān)系是
.
(1)寫出2018年第x月的需求量(單位:件)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該商品每件的售價為185元,若不計其他費用且每月都能滿足市場需求,試問該商場2018年第幾個月銷售該商品的月利潤最大,最大月利潤為多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧
所在平面相交于
,
,
,
分別為
,
的中點,
是
上異于
,
的點,
.
(1)證明:平面平面
;
(2)若點為半圓弧
上的一個三等分點(靠近點
)求二面角
的余弦值.
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