Question

【題目】如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,，,分別為,的中點(diǎn), 是上異于,的點(diǎn), .

（1）證明:平面平面;

（2）若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由直徑所對(duì)的圓周角為，可知，通過(guò)計(jì)算，利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形，所以有.由已知可以證明出，這樣利用線(xiàn)面垂直的判定定理可以證明平面，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量，利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算公式，可以求出二面角的余弦值.

解：（1）證明：因?yàn)?/span>半圓弧上的一點(diǎn)，所以.

在中，分別為的中點(diǎn)，所以，且.

于是在中， ，

所以為直角三角形，且.

因?yàn)?/span>，,所以.

因?yàn)?/span>，，，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，,

,,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

則即，取,得.

設(shè)平面的法向量,

則即，取,得.

所以，

又二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.