【題目】如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,,,分別為,的中點(diǎn), 上異于,的點(diǎn), .

1)證明:平面平面;

2)若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】

1)由直徑所對(duì)的圓周角為,可知,通過計(jì)算,利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形,所以有.由已知可以證明出,這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面,利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;

2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量,利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算公式,可以求出二面角的余弦值.

解:(1)證明:因?yàn)?/span>半圓弧上的一點(diǎn),所以.

中,分別為的中點(diǎn),所以,且.

于是在中, ,

所以為直角三角形,且.

因?yàn)?/span>,,所以.

因?yàn)?/span>,,,

所以平面.

平面,所以平面平面.

(2)由已知,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

,,,

,,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,取,得.

設(shè)平面的法向量,

,取,得.

所以,

又二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.

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(1)求證:;

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(1)求證:;

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(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求證:平面;

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(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[4050)內(nèi)的人數(shù);

(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

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