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【題目】橢圓的左、右焦點分別是
,
,離心率為
,過
且垂直于
軸的直線被橢圓
截得的線段長為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)點是橢圓
上除長軸端點外的任一點,連接
,
,設(shè)
的角平分線
交
的長軸于點
,求
的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,過點作斜率為
的直線
,使得
與橢圓
有且只有一個公共點,設(shè)直線
,
的斜率分別為
,
,若
,證明
為定值,并求出這個定值.
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【題目】已知函數(shù),
,
.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若在
上為單調(diào)函數(shù),求
的取值范圍;
(3)設(shè),若在
上至少存在一個
,使得
成立,求
的取值范圍.
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【題目】如圖,已知直三棱柱中,
,
,
,
,
分別是
,
,
的中點,點
在直線
上運動,且
.
(1)證明:無論取何值,總有
平面
;
(2)是否存在點,使得平面
與平面
的夾角為
?若存在,試確定點
的位置,若不存在,請說明理由.
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【題目】為了緩解城市交通壓力,某市市政府在市區(qū)一主要交通干道修建高架橋,兩端的橋墩現(xiàn)已建好,已知這兩橋墩相距m米,“余下的工程”只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算,一個橋墩的工程費用為256萬元;距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素.記“余下工程”的費用為y萬元.
(1)試寫出工程費用y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)m=640米時,需新建多少個橋墩才能使工程費用y最小?并求出其最小值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線
與拋物線
交于
,
兩點,且
.
(1)求的方程;
(2)試問:在軸的正半軸上是否存在一點
,使得
的外心在
上?若存在,求
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由..
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【題目】如圖,在四棱錐中,
平面
,
,四邊形
滿足
且
,點
為
的中點,點
為
邊上的動點,且
.
(1)求證:平面平面
;
(2)是否存在實數(shù),使得二面角
的余弦值為
?若存在,試求出實數(shù)
的值;若不存在,說明理由.
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【題目】從1到9的九個數(shù)字中取三個偶數(shù)四個奇數(shù),試問:
(1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)?
(2)上述七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個?
(3)在(1)中的七位數(shù)中,偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個?
(4)在(1)中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個?
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【題目】我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注,受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為,女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為
.某機構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾(其中2男2女).
(1)求這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多的概率;
(2)設(shè)表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù),求
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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