網(wǎng)址：http://m.tourm.cn/paper/timu/5160382.html[舉報]
解題必須有思想的指導,也就是說,數(shù)學解題的基本方法是具有思想性的. 數(shù)學的思想是數(shù)學基本方法的靈魂.
在數(shù)學復習中，有意識地揭示這些數(shù)學基本方法中所隱含的數(shù)學思想, 在數(shù)學學習活動中形成一些數(shù)學的觀點；在數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的形成、完善過程中，有意識地用數(shù)學的觀點去觀察、分析數(shù)學問題，不斷地獲取、積累、深化這些數(shù)學的觀點，使這些數(shù)學的觀點能夠在數(shù)學思維中升華為數(shù)學意識,從而就能從根本上提高思維能力, 提升思維層次,提高數(shù)學能力,這是數(shù)學學習的有效方法之一,也是數(shù)學學習的目的.
例1．已知 
, 
,求 
的值.
分析(1) 
,
,在公式
中是聯(lián)系在一起的,由此,我們可以下面的解法.
解法(1) ∵ ,
∴ =
=
=8.
分析(2) 顯然由和要分別解出
的值是不可能的,但是,我們可以利用和消去中的變元,從而得的值,也就是說,消元就是解這個問題的指導思想,而且, 消元在代數(shù)式的求值中具有一般的指導意義.
解法(2) ∵ , ,
∴ 
, 
,
∴ =
=
=
=8.
例2. 設(shè)
，求證：
.
證明方法(一):
=
=
(1)
>
故成立.
證明方法(二)
==
∴ 
=
=
故成立.
問題: ①表達式(1)是如何冒出來的? ②證明方法(一)與證明方法(二)有什么關(guān)系?
例3．化簡：
.
分析: 這是一個極容易的化簡題, 學生很可能盲目地獲得結(jié)果.我們要問: 解本題的指導思
想是什么?
先看下面兩個解法:
解法(一): 原式=
=
=
=
=1
解法(二): 原式=
=
=1
說明: 證明方法(一)中將被化簡式的表達形式與公式掛鉤不容易, 因此，這一種方法的
技巧性較強.證明方法(二)的指導思想是:“消元”. 我們又要問:消元的方法是什么? 回答是: ① 減少三角函數(shù)名稱,② 減少角的表達形式.
由證明方法(二)的指導思想還可以獲得以下證明方法:
解法(三) 原式消元成只含
的表達式而被化簡.
原式=
=
=1
解法(四) 原式消元成只含
的表達式而被化簡.
原式=
=
=1
例4．已知圓
，直線
過定點A (1，0)．
(1)若與圓相切，求的方程；
(2)若與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又與
的交點為N，判斷
是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由.
(1) 解：①若直線的斜率不存在，即直線是
，符合題意．
②若直線斜率存在，設(shè)直線為
，即
．
由題意知，圓心(3，4)到已知直線的距離等于半徑2，即： 
，
解之得 
.
所求直線方程是，
?！ ?
(2) 解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設(shè)直線方程為
由
得
．
又直線CM與垂直，由
得
．
∴ 
為定值.
故是定值，且為6.
解法二：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設(shè)直線方程為.
由 得．
再由
得
．
∴ 
得．
以下同解法一．
解法三：用幾何法，
如圖所示，△AMC∽△ABN，則
，可得
，是定值．
說明: 顯然, 由于應(yīng)用了平面幾何知識, 解法(三)比解法(一)、解法(二)簡潔.
例5． 雙曲線
的離心率為
，A、F分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過點F的直線
交雙曲線的右支于P、Q兩點，交y軸于R點，AP、AQ分別交右準線于M、N兩點.
(1) 若
，求直線的斜率；
(2) 證明：M、N兩點的縱坐標之積為
.
解: (1)解：設(shè)
，
∵ 雙曲線的離心率為，
∴ 
，雙曲線方程為
，
∵ 
， ∴
，
∵ 直線為
, ∴ 
，
∵ 點Q是雙曲線上一點， ∴ 
，整理得，
解得
.
(2)證明：設(shè)
由題設(shè)可知:直線
的方程為
,直線
的方程為
.
∴ 
，
∴ 
，
由
得
∴ 
，
，
∴ 
.(k不存在要作特殊處理)
例6． (揚州市2008屆高三第二次調(diào)研測試)
已知圓C：
，直線
，且直線與圓C交于
，點
滿足
.
(1) 當
時,求
的值;
(2) 若
,求
的取值范圍.
解：(1)當時,點在圓上，故當且僅當直線過圓心
時滿足，
∵ 圓心的坐標為(1，1)，
∴ 
.
設(shè),
由
消去
可得,
,
, 
,
∵ , ∴ 
,
∴ 
, 
,
即 
,
∴ 
,
方法(1) 對進行整理
,
方法(2) 對進行整理,
令
, 則函數(shù)
的圖象與軸在
上有公共點,若,則
,故不可取.
故
∴ 
或
或
或
或
顯然, 方法(1)和(2)不易求解.
方法(3) 由
得,
① 令
(
)
∴ 
, 
, 
,
, 
∴ 2<
,
解得,
或
② 令 
,則
∴ 在上為單調(diào)減函數(shù),
∴ 
∵ =
∴ 2
,
2
,
解得,或
例7．蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市2007年第二次模擬考試題(題20)
已知點
都在橢圓
(
)上，
分別過兩個焦點
，當
時，有
成立.
(1)求此橢圓的離心率;
(2)設(shè)
,
,當點A在橢圓上運動時,
求證: 
始終是定植.
分析: 本題是一個求值的問題. 在高中數(shù)學中, 求值的一般方法是:一是給出未知量的方程,解這個方程得值,題(1)可用這一思想;二是給出未知量的函數(shù)表達式,對表達式消元得值,題(2)可用這一思想.題(2)給出未知量的函數(shù)表達式的方法有兩種:
(1) 解: 當
時，
，
∴ 
, 
,
∴ 
.
由橢圓的定義,得
, ∴ 
, 
在直角三角形
中,
∵ 
,
∴ 
∴
.
(2) 解：由
可知,
, 故橢圓的方程可化為
,焦點為
.
設(shè)
,
,
.
方法① 
.當直線
的斜率存在時,
方法(1)直線的方程為
,代入橢圓方程,得
,
∴ 
, 
,
∵ , ∴ 
, 
,
同理可得, 
,
∴ 
+
,
∴ 
.
方法(2)直線的方程為,代入橢圓方程,得
-
,
.
∵ ,
∴ 
, 
,
,
∴ 
,
同理可得, ,
∴ +=
.
.當直線的斜率不存在時,
,
.
綜上所述, 是定值.
方法② ∵ ,, ∴ 
,
,
∴ 
∴ 兩式相減可得, 
,
(∵
, 
.
同理可得, 
, ∴
.
.當直線的斜率不存在時,, .
綜上所述, 是定值.
例8．(宿遷市2007屆高三年級第四次考試)21題
由原點O向曲線
引切線，切點
異于點O，再由點引此曲線的切線，切點
異于點，如此繼續(xù)下去，得到點列
.
(1) 求
;
(2) 求證數(shù)列
為等比數(shù)列.
(1) ∵, ∴ 
∴ 過原點O, 切點為的切線方程為
,
∴ 
消去
得, 
∵ 
∴ 
.
(2) 證明: 設(shè)過點
的直線與曲線切于點
,
則切線方程為
∴ 
∵ 
,
∴ 
∴ 
, 
∵, ∴ 
,
∴數(shù)列是以
為首項,
為公比的等比數(shù)列.