新高考來了，盡管大家對新高考有這樣那樣的看法，但是我們還是必須面對它，研究它.為了讓學生知道新高考考什么,對于教師來說，必須研究新高考的指導思想是什么?研究課程改革的理念, 研究新高考與課程改革的關系，研究新高考與原高考的區(qū)別等等,從而明確新高考考什么. 高考的方式,高考的內(nèi)容可以變, 但是用數(shù)學的思想,數(shù)學的方法去培養(yǎng)學生的能力這一數(shù)學教育目的沒有變, 因此,在數(shù)學高考的復習中, 用數(shù)學的思想,數(shù)學的方法去提高學生的數(shù)學思維能力還是數(shù)學復習的基本方法，基本指導思想.

解題必須有思想的指導,也就是說,數(shù)學解題的基本方法是具有思想性的. 數(shù)學的思想是數(shù)學基本方法的靈魂. 在數(shù)學復習中，有意識地揭示這些數(shù)學基本方法中所隱含的數(shù)學思想, 在數(shù)學學習活動中形成一些數(shù)學的觀點；在數(shù)學知識結構的形成、完善過程中，有意識地用數(shù)學的觀點去觀察、分析數(shù)學問題，不斷地獲取、積累、深化這些數(shù)學的觀點，使這些數(shù)學的觀點能夠在數(shù)學思維中升華為數(shù)學意識,從而就能從根本上提高思維能力, 提升思維層次,提高數(shù)學能力,這是數(shù)學學習的有效方法之一,也是數(shù)學學習的目的. 例1．已知 , ,求 　的值. 分析(1) ,,在公式 中是聯(lián)系在一起的,由此,我們可以下面的解法. 解法(1) ∵ , ∴ ===8. 分析(2) 顯然由和要分別解出的值是不可能的,但是,我們可以利用和消去中的變元,從而得的值,也就是說,消元就是解這個問題的指導思想,而且, 消元在代數(shù)式的求值中具有一般的指導意義. 解法(2) ∵ , , ∴ , , ∴ = 　　　　　　　 = 　　　　　　　 = 　　　　　　　 =8. 例2. 設，求證：. 證明方法(一): = =　　 (1) > 故成立. 證明方法(二) == ∴ == 故成立. 問題: ①表達式(1)是如何冒出來的? ②證明方法(一)與證明方法(二)有什么關系? 例3．化簡：. 分析: 這是一個極容易的化簡題, 學生很可能盲目地獲得結果.我們要問: 解本題的指導思 想是什么? 先看下面兩個解法: 解法(一): 原式= = = = =1 解法(二): 原式= = =1 說明: 證明方法(一)中將被化簡式的表達形式與公式掛鉤不容易, 因此，這一種方法的 技巧性較強.證明方法(二)的指導思想是:“消元”. 我們又要問:消元的方法是什么? 回答是: ① 減少三角函數(shù)名稱,② 減少角的表達形式. 由證明方法(二)的指導思想還可以獲得以下證明方法: 解法(三) 原式消元成只含的表達式而被化簡. 原式= 　　 = =1 解法(四) 原式消元成只含的表達式而被化簡. 原式=　 　　 = 　 　　 =1 例4．已知圓，直線過定點A (1，0)． (1)若與圓相切，求的方程；　　　　　　 (2)若與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又與的交點為N，判斷是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由. (1) 解：①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意．　　 ②若直線斜率存在，設直線為，即． 由題意知，圓心(3，4)到已知直線的距離等于半徑2，即： ， 解之得　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 所求直線方程是，?！　　　　　　　?　　　　　　　　　　　　 (2) 解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設直線方程為 由　 得．　　　　 　　　　 又直線CM與垂直，由　得．　　　 　 ∴　 　 　　　　 為定值.　　 故是定值，且為6.　　　　　　　　　　　　　　　 解法二：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設直線方程為. 由　 得．　　　 　　　　　　 再由　得． ∴ 　　得． 　　 以下同解法一． 解法三：用幾何法， 如圖所示，△AMC∽△ABN，則，可得，是定值． 說明: 顯然, 由于應用了平面幾何知識, 解法(三)比解法(一)、解法(二)簡潔. 例5． 雙曲線的離心率為，A、F分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過點F的直線交雙曲線的右支于P、Q兩點，交y軸于R點，AP、AQ分別交右準線于M、N兩點. (1) 若，求直線的斜率； (2) 證明：M、N兩點的縱坐標之積為. 解: (1)解：設， ∵　 雙曲線的離心率為， ∴　 ，雙曲線方程為， ∵ ， ∴， ∵ 直線為,　 ∴ ， ∵ 點Q是雙曲線上一點， ∴ ，整理得，　 　 解得. (2)證明：設由題設可知:直線的方程為　,直線的方程為.　 ∴ ， ∴ ， 由得 ∴ ， ， ∴ .(k不存在要作特殊處理) 例6．　 (揚州市2008屆高三第二次調(diào)研測試) 已知圓C：，直線，且直線與圓C交于，點滿足. (1) 當時,求的值; (2) 若,求的取值范圍. 解：(1)當時,點在圓上，故當且僅當直線過圓心時滿足， ∵ 圓心的坐標為(1，1)， ∴ . 設, 由　消去可得,, ,　 , ∵　 ,　 ∴ , ∴ ,　 ,　 即 , ∴ , 方法(1)　 對進行整理, 方法(2)　 對進行整理, 令, 則函數(shù)的圖象與軸在上有公共點,若,則,故不可取. 故 ∴　 或或 或或 顯然, 方法(1)和(2)不易求解. 方法(3) 由得,　 　 ① 令 　　 () ∴ ,　 ,　 　　　, ,　 ∴　 2<,　 解得,或 ② 令 ,則 ∴ 在上為單調(diào)減函數(shù), ∴　 ∵　 = ∴　 2, 2,　 解得,或 例7．蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市2007年第二次模擬考試題(題20) 已知點都在橢圓()上，分別過兩個焦點，當時，有成立. (1)求此橢圓的離心率; (2)設,,當點A在橢圓上運動時, 求證: 始終是定植. 分析: 本題是一個求值的問題. 在高中數(shù)學中, 求值的一般方法是:一是給出未知量的方程,解這個方程得值,題(1)可用這一思想;二是給出未知量的函數(shù)表達式,對表達式消元得值,題(2)可用這一思想.題(2)給出未知量的函數(shù)表達式的方法有兩種: (1) 解: 當時，， ∴ , , ∴ . 由橢圓的定義,得, ∴ , 在直角三角形中, ∵ , ∴ 　　∴ . (2) 解：由可知,, 故橢圓的方程可化為,焦點為. 設,,. 方法① .當直線的斜率存在時, 方法(1)直線的方程為,代入橢圓方程,得 , ∴ , ,　 ∵ ,　 ∴ ,　 , 同理可得, ,　　 ∴ +, ∴ .　　　　　　　　 方法(2)直線的方程為,代入橢圓方程,得 -, . ∵ ,　 ∴ ,　 , , ∴ ,　 同理可得, , ∴ +=. .當直線的斜率不存在時,, . 綜上所述, 是定值. 方法② ∵ ,, ∴ ,, 　∴ 　　　 ∴ 兩式相減可得, ,　 (∵ 　, . 同理可得, , ∴ . .當直線的斜率不存在時,, . 綜上所述, 是定值. 例8．(宿遷市2007屆高三年級第四次考試)21題 由原點O向曲線引切線，切點異于點O，再由點引此曲線的切線，切點異于點，如此繼續(xù)下去，得到點列. (1) 求; (2) 求證數(shù)列為等比數(shù)列. (1) ∵, ∴ ∴ 過原點O, 切點為的切線方程為, ∴ 　消去得, ∵ ∴ . (2) 證明: 設過點的直線與曲線切于點, 則切線方程為 ∴ ∵ ,　 ∴ ∴ ,　 ∵, ∴ , ∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.

例1. 已知等比數(shù)列{}的各項為正數(shù), 數(shù)列{　}滿足　(>0且1), =18, =12. (1) 求數(shù)列{}的通項公式; (2) 試判斷是否存在正整數(shù),使得當>時, >1恒成立,并說明理由;　 (0<<1) (3) 當>12時, 求證:+ ++...+<. 解：(1)∵ 數(shù)列{}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，∴ 當2時，=-　=　 為常數(shù)， ∴ 數(shù)列{}為等差數(shù)列。 ∵ =18, =12， ∴=-2+24 . (2) 由(1)知, =-n+12. ① 若01,則當12時, 1;當=12時, =1;當12時, 1,故當01時,存在=12,當12時, 1. ② 若1,則當12時, 1;當=12時, =1;當12時, 1,故當01時,不存在,當時, 1. (3) 方法(一) 當14時 + ++...+　 =] 　< =[+] =[][]=　. = == =< 當=13時, + ++...+= <= == 綜上所述, 當13時, + ++...+<. 方法(二) 設=+ ++...+，則= +++...+ ∴-=+-= <= <0 . ∴<　, 即{ }單調(diào)遞減, ∴<. 例2. 已知數(shù)列滿足: . (1)　　 證明: 數(shù)列成等比數(shù)列; (2)　　 證明: . (1) 證明: ∵ , ∴ 　,　 ∵ 　∴ 數(shù)列 是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列. (2) 證明方法①： 由(1)可知, ∴ , 解得: . 證明方法②：由(1)可知, 　　　　　　　　　 < < < ∴ 　　　　　　　　　　　 = 　　　　　　　　　　　 =< 直線與平面平行的證明: 一般用下列兩個基本圖形在已知平面內(nèi)給出一條直線與已知直線平行, 或用面面平行的方法證明. 證明直線與平面平行,如果利用線面平行的判定定理來證明,就必須在已知平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行,這條直線一般可以過已知直線作一個與已知平面相交的平面而得到,而這個平面可以經(jīng)過已知直線和與已知直線、已知平面都相交的另一條直線而得到(如圖(1)),也可以經(jīng)過過已知直線上兩點且與已知平面相交的兩條平行直線而得到(如圖(2)). (輔助線的添加問題) 例3．四棱錐的底面是平行四邊形, 點在棱SA上,點在BD上,且 , 求證: ∥平面. 例4．正三棱柱中，E為AC的中點.求證: ‖平面.　 分析: 先利用圖形(1)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線. 本例中與直線、平面都相交的直線有、、、. ① 與確定平面，　　　　　　　 顯然點是平面與平面的一個公共點, 　 延長、相交于點F,連結BF，則直線BF就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，只要證明直線‖直線,就可得‖平面. ② 與確定平面,　　　 顯然點E是平面與平面的一個公共點,　　　　 連結,設直線與直線的交點為G, 連結EG,則直線EG就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線,就可得‖平面. ③ 與確定平面，顯然點是平面與平面的一個公共點,因此,這時的證明方法與①相同. ④ 與確定平面, 顯然點是平面與平面的一個公共點,延長到,使,連結,則就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線,就可得‖平面. 下面再利用圖形(2)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線. 　 ① 直線AC是過點A且與平面相交于點E的一條直線,下面我們在給出一條過點且與AC平行、與平面相交的另一條直線. 在平面內(nèi)過點作‖,過點作,連結 ,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面. 　 ② 直線AB是過點A且與平面相交于點B的一條直線,下面我們在給出一條過點且與AB平行、與平面相交的另一條直線. 　在平面內(nèi)延長到T,使=,連結、,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面. 　 本例也可以利用面面平行的性質(zhì)證明‖平面. 　　 取的中點F, 連結AF、B1F，證明平面‖平面，就可得‖平面. 　　　 本例也可以用基底向量法給出證明. 　　　 證明: 取為一組基底. ,,　　 =, 　　　 設=　, 則=() = 　　　 ∴ 　　∴　 , ,　 ∴ =-+　, ∴‖平面.