22.已知函數(shù)f(x)=-x³+ax²+b(a,b∈R)

(1)若函數(shù)y=f(x)圖像上任意不同的兩點(diǎn)連線斜率小于1，求證：-＜a＜

若x∈［0,1］,函數(shù)y=f(x)上任一點(diǎn)切線斜率為k,討論｜k｜≤1的充要條件

解：(1)設(shè)任意不同的兩點(diǎn)P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),且x₁≠x₂

則＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

∴＜1

即-x₁²-x₁x₂-x₂²+a(x₁+x₂)＜1

∴-x₁²+(a-x₂)x₁-x₂²+ax₂-1＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

∵x₁∈R

∴Δ=(a-x₂)²+4(-x₂²+ax₂-1)＜0

即-3x₂²+2ax₂+a²-4＜0

∴-3(x₂-)²++a²-4＜0

∴a²-4＜0,∴-＜a＜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(2)當(dāng)x∈［0,1］時(shí)，k=f′(x)=-3x²+2ax(7分)

由題意知：-1≤-3x²+2ax≤1,x∈［0,1］

即對(duì)于任意x∈［0,1］,｜f′(x)｜≤1等價(jià)于｜f′(0)｜，｜f′(1)｜，

｜f′()｜的值滿足

或　 或　　　　　　　　　　　　 (11分)

即 或 　或

∴1≤a≤

即｜k｜≤1的充要條件是1≤a≤

20.已知函數(shù)f(x)=x⁴－4x³+ax²－1在區(qū)間［0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間［1，2)上單調(diào)遞減.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若點(diǎn)A(x₀,f(x₀))在函數(shù)f(x)的圖象上，求證點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)f(x)的圖象上；

(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g(x)=bx²－1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn).若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的值；若不存在，試說(shuō)明理由.

解：(Ⅰ)由函數(shù)f(x)=x⁴－4x³+ax²－1，在區(qū)間［0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間［1，2)上單調(diào)遞減，

∴x=1時(shí)，f(x)取得極大值，∴f′(1)=0.　　　　　　 2分

f′(x)=4x³－12x²+2ax, ∴4－12+2a=0a=4.　　　　　　　　　　 4分

(Ⅱ)點(diǎn)A(x₀,f(x₀))關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)B坐標(biāo)為(2－x₀,f(x₀)),　　　　　 6分

f(2－x₀)=(2－x₀)⁴－4(2－x₀)³+4(2－x₀)²－1=(2－x₀)²［(2－x₀)－2］²－1

=x₀⁴－4x₀³+4x₀²－1=f(x₀).　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

∴點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)f(x)的圖象上.　　　　　　　 9分

(Ⅲ)函數(shù)g(x)=bx²－1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程x⁴－4x³+4x²－1=bx²－1恰有3個(gè)不等實(shí)根，　　 　　　　　　　　　　 　 10分

x⁴－4x³+4x²－1=bx²－1x⁴－4x³+(4－b)x²=0.

∵x=0是其中一個(gè)根，

∴方程x²－4x+(4－b)=0有兩個(gè)非0不等實(shí)根.　　　　　　　 　 12分

∴∴b＞0且b≠4.　　　　　　　 　 14分

19.已知偶函數(shù)f (x)，對(duì)任意x₁，x₂∈R，恒有：．

(1)求f (0)，f (1)，f (2)的值；

(2)求f (x)；

(3)判斷在(0，+∞)上的單調(diào)性

解：(1) f (0) = -1，f (1) = 0，f (2) = 3；

　　　 (2)，

　　　　　　 又，f (0) = -1，故；

　　　 (3)．用定義可證明在［，+∞)上是增函數(shù)，

在(0，］上為減函數(shù)

18.在△ABC中，已知.(I)若任意交換的位置，的值是否會(huì)發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論；　 (II)求的最大值.

解：(I)∵

，

　　　 ∴ 任意交換的位置，的值不會(huì)發(fā)生變化．

　　　 (II)將看作是關(guān)于的二次函數(shù).

.

所以，當(dāng)，且取到最大值1時(shí)，也即時(shí)，取得最大值．

也可有如下簡(jiǎn)單解法：

19. 已知函數(shù)：．

　 (1)證明：f(x)+2+f(2a－x)=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立；

　 (2)當(dāng)f(x)的定義域?yàn)閇a+,a+1]時(shí)，求證：f(x)的值域?yàn)閇－3，－2]；

　 (3)設(shè)函數(shù)g(x)=x²+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值

解(1)證明：

．

∴結(jié)論成立 ………………………………………………………………………………4’

(2)證明：

當(dāng)，，

　，，

∴．

　　 即．………………………………………………………………8’

(3)　

①當(dāng)．

如果　 即時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴ ．

如果．

當(dāng)時(shí)，最小值不存在．……………………………………………………10’

②當(dāng) ，　

如果．

如果．

當(dāng)．

．……………………………………………12’

綜合得：當(dāng)時(shí)， g(x)最小值是；當(dāng)時(shí)， g(x)最小值是 ；當(dāng)時(shí)， g(x)最小值為；當(dāng)時(shí)， g(x)最小值不存在．

17. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>．試求函數(shù)()的最小正周期和最值

解： ……2’

…………………………4’

當(dāng)＞0時(shí)，，

解得，………………………………………………………………6’

從而， ，

T=，最大值為5，最小值為－5；………………………………………………8’

當(dāng)m＜0時(shí)， 解得，………………………………………………10’

從而，，T=，最大值為，

最小值為．……………………………………………………………………12

15. 若直線y=2a與函數(shù)y=|a^x-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_ ______.

14. 已知函數(shù).給出下列命題：①f(x)必是偶函數(shù)；②f(0)= f(2)時(shí)，f(x)的圖象必關(guān)于直線x=1對(duì)稱；③若，則f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；

④f(x)有最小值.　　 其中正確命題的序號(hào)是.③　　　 .

13. 已知二次函數(shù)f(x)= x²－3x + p－1，若在區(qū)間[0，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，

使f(c)＞0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是__ (1，+∞)

16. 如右圖，它滿足：(1)第n行首尾兩數(shù)均為n，

(2)表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n行

(n≥2)第2個(gè)數(shù)是