題目列表(包括答案和解析)

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22.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)

(1)若函數(shù)y=f(x)圖像上任意不同的兩點(diǎn)連線斜率小于1,求證:-<a<

若x∈[0,1],函數(shù)y=f(x)上任一點(diǎn)切線斜率為k,討論|k|≤1的充要條件

解:(1)設(shè)任意不同的兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2

<1                          (1分)

<1

即-x12-x1x2-x22+a(x1+x2)<1

∴-x12+(a-x2)x1-x22+ax2-1<0                     (3分)

∵x1∈R

∴Δ=(a-x2)2+4(-x22+ax2-1)<0

即-3x22+2ax2+a2-4<0

∴-3(x2-)2++a2-4<0

a2-4<0,∴-<a<                    (6分)

(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),k=f′(x)=-3x2+2ax(7分)

由題意知:-1≤-3x2+2ax≤1,x∈[0,1]

即對(duì)于任意x∈[0,1],|f′(x)|≤1等價(jià)于|f′(0)|,|f′(1)|,

|f′()|的值滿足

  或             (11分)

 或

∴1≤a≤

即|k|≤1的充要條件是1≤a≤

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20.已知函數(shù)f(x)=x4-4x3+ax2-1在區(qū)間[0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,2)上單調(diào)遞減.

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)若點(diǎn)A(x0,f(x0))在函數(shù)f(x)的圖象上,求證點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)f(x)的圖象上;

(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù)b,使得函數(shù)g(x)=bx2-1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn).若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的值;若不存在,試說(shuō)明理由.

解:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)=x4-4x3+ax2-1,在區(qū)間[0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,2)上單調(diào)遞減,

x=1時(shí),f(x)取得極大值,∴f′(1)=0.       2分

f′(x)=4x3-12x2+2ax, ∴4-12+2a=0a=4.           4分

(Ⅱ)點(diǎn)A(x0,f(x0))關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)B坐標(biāo)為(2-x0,f(x0)),      6分

f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1=(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1

=x04-4x03+4x02-1=f(x0).                 8分

∴點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)f(x)的圖象上.        9分

(Ⅲ)函數(shù)g(x)=bx2-1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于方程x4-4x3+4x2-1=bx2-1恰有3個(gè)不等實(shí)根,                10分

x4-4x3+4x2-1=bx2-1x4-4x3+(4-b)x2=0.

x=0是其中一個(gè)根,

∴方程x2-4x+(4-b)=0有兩個(gè)非0不等實(shí)根.          12分

b>0且b≠4.          14分

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19.已知偶函數(shù)f (x),對(duì)任意x1,x2∈R,恒有:

(1)求f (0),f (1),f (2)的值;

(2)求f (x);

(3)判斷在(0,+∞)上的單調(diào)性

解:(1) f (0) = -1,f (1) = 0,f (2) = 3;

    (2),

       又,f (0) = -1,故

    (3).用定義可證明在[,+∞)上是增函數(shù),

在(0,]上為減函數(shù)

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18.在△ABC中,已知.(I)若任意交換的位置,的值是否會(huì)發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論;  (II)求的最大值.

解:(I)∵

    ∴ 任意交換的位置,的值不會(huì)發(fā)生變化.

    (II)將看作是關(guān)于的二次函數(shù).

.

所以,當(dāng),且取到最大值1時(shí),也即時(shí),取得最大值

也可有如下簡(jiǎn)單解法:

 

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19. 已知函數(shù):

  (1)證明:f(x)+2+f(2ax)=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立;

  (2)當(dāng)f(x)的定義域?yàn)閇a+,a+1]時(shí),求證:f(x)的值域?yàn)閇-3,-2];

  (3)設(shè)函數(shù)g(x)=x2+|(xa)f(x)| ,求g(x) 的最小值

解(1)證明:

∴結(jié)論成立 ………………………………………………………………………………4’

(2)證明:

當(dāng),

 ,,

   即.………………………………………………………………8’

(3) 

①當(dāng)

如果  即時(shí),則函數(shù)在上單調(diào)遞增,

如果

當(dāng)時(shí),最小值不存在.……………………………………………………10’

②當(dāng) , 

如果

如果

當(dāng)

.……………………………………………12’

綜合得:當(dāng)時(shí), g(x)最小值是;當(dāng)時(shí), g(x)最小值是 ;當(dāng)時(shí), g(x)最小值為;當(dāng)時(shí), g(x)最小值不存在.

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17. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>,值域?yàn)?sub>.試求函數(shù)()的最小正周期和最值

解: ……2’

…………………………4’

當(dāng)>0時(shí),,

解得,………………………………………………………………6’

從而, ,

T=,最大值為5,最小值為-5;………………………………………………8’

當(dāng)m<0時(shí), 解得,………………………………………………10’

從而,,T=,最大值為,

最小值為.……………………………………………………………………12

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15. 若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是_ ______.

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14. 已知函數(shù).給出下列命題:①f(x)必是偶函數(shù);②f(0)= f(2)時(shí),f(x)的圖象必關(guān)于直線x=1對(duì)稱;③若,則f(x)在區(qū)間上是增函數(shù);

f(x)有最小值.   其中正確命題的序號(hào)是.③    .

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13. 已知二次函數(shù)f(x)= x2-3x + p-1,若在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,

使f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是__ (1,+∞)

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16. 如右圖,它滿足:(1)第n行首尾兩數(shù)均為n,

(2)表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角,則第n行

(n≥2)第2個(gè)數(shù)是

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