【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C,連接AC,OD交于點E.
(1)證明:OD∥BC;
(2)若AD是⊙O的切線,連接BD交于⊙O于點F,連接EF,且OA=1,求EF的長.
【答案】(1)見解析;(2)EF=
【解析】
(1)連接OC,證明△ADO≌△CDO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AOD=∠COD,由圓周角定理可證∠AOD=∠ABC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBC=∠OCB,根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)連接AF,過F作FM⊥EF交OD于M,推出△ABD為等腰直角三角形,求得∠AFB=90°,∠DAF=∠45°,由△AEF≌△DMF可得AE=DM,由△AOE∽DOA求出AE的長,進而可求EF的長.
解:(1)連接OC,
∵AO=CO,AD=CD,OD=OD,
∴△ADO≌△CDO(SSS),
∴∠AOD=∠COD,
∵∠AOC=2∠ABC,
∴∠AOD=∠ABC,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠COD,
∴OD//BC;
(2)連接AF,過F作FM⊥EF交OD于M,
∵AB=AD,AD是圓的切線,
∴△ABD為等腰直角三角形,
∵AB為直徑,
∴∠AFD=90°,∠DAF=∠45°,
∵∠AED=∠AFD=90°,
∴∠DAF=∠DEF=45°,
∴AF=DF,
∴∠AFE=∠DFM,
∵∠EAF=∠FDM,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴AE=DM.
∵OA=1,
∴AD=2,
∴OD=,
∵∠AOE=∠AOD,∠AEO=∠OAD,
∴△AOE∽DOA,
∴ ,
∴AE=,
∴DM=,
∴DE=,
∴EM=,
∴EF=.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程 (a+2b)x2-2x+(a+2b)=0有實數(shù)根.
(1)若a=2,b=1,求方程的根
(2)若m=a2+b2+5a,若b<0,求m的取值范圍.
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【題目】已知拋物線經(jīng)過點.
(1)求此拋物線的函數(shù)解析式;
(2)判斷點是否在此拋物線上;
(3)求出拋物線上縱坐標(biāo)為的點的坐標(biāo).
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【題目】2019年4月22日是第50個世界地球日,某校在八年級5個班中,每班各選拔10名學(xué)生參加“環(huán)保知識競賽”并評出了一、二、三等獎各若干名,學(xué)校將獲獎情況繪成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求本次競賽獲獎的總?cè)藬?shù),并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中“二等獎”所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù);
(3)如果該校八年級有800人,請你估計獲獎的同學(xué)共有多少人?
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【題目】已知:如圖1在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為2cm/s;同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向點C勻速運動,速度為lcm/s;連接PQ,設(shè)運動的時間為t秒(0<t<5),解答下列問題:
(1)當(dāng)為t何值時,PQ∥BC;
(2)設(shè)△AQP的面積為y(cm2),求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值;
(3)如圖2,連接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQPC,是否存在某時刻t,使四邊形PQP'C為菱形?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】甲地有42噸貨物要運到乙地,有大、小兩種貨車可供選擇,具體收費情況如表:
類型 | 載重量(噸) | 運費(元/車) |
大貨車 | 8 | 450 |
小貨車 | 5 | 300 |
運完這批貨物最少要支付運費_____元.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點M在△ABC內(nèi),AM平分∠BAC.點E與點M在AC所在直線的兩側(cè),AE⊥AB,AE=BC,點N在AC邊上,CN=AM,連接ME,BN.
(1)補全圖形;
(2)求ME:BN的值;
(3)問:點M在何處時BM+BN取得最小值?確定此時點M的位置,并求此時BM+BN的最小值.
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【題目】如圖,一塊長5米寬4米的地毯,為了美觀設(shè)計了兩橫、兩縱的配色條紋(圖中陰影部分),已知配色條紋的寬度相同,所占面積是整個地毯面積的.
(1)求配色條紋的寬度;
(2)如果地毯配色條紋部分每平方米造價200元,其余部分每平方米造價100元,求地毯的總造價.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,點D為△ABC內(nèi)一點,BD=CD,∠ABD+∠ADC=180°,若AD=2,則AC的長為_____.
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