Question

【題目】定義：連接拋物線上兩點(diǎn)的線段叫拋物線的弦，在這兩點(diǎn)之間拋物線上的任意一點(diǎn)P與此兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱(chēng)作拋物線的弦三角，點(diǎn)P稱(chēng)作弦錐，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x．

已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，2）、B（m，n）、C（3，﹣2）三點(diǎn)，P是拋物線上AC之間的一點(diǎn)，以AC為弦的弦三角為△PAC.

（1）圖一，當(dāng)m＝2，n＝1時(shí)，求該拋物線的解析式，若x＝k1時(shí)△PAC的面積最大，求k1的值．

（2）圖二，當(dāng)m＝2，n≠1時(shí)，用n表示該拋物線的解析式，若x＝k2時(shí)△PAC的面積最大，求k2的值．k1與k2有何數(shù)量關(guān)系？

（3）圖三，當(dāng)m≠2，n≠1時(shí)，用m，n表示該拋物線的解析式，若x＝k3時(shí)△PAC的面積最大，求k3的值．觀察圖1，2，3，過(guò)定點(diǎn)A、C，根據(jù)B在各種不同位置所得計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)通過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的拋物線系中，以此兩點(diǎn)為弦的弦三角的面積取得最大值時(shí)，弦錐的橫坐標(biāo)有何規(guī)律？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1，k1＝2；（2）y＝﹣nx2+（4n﹣2）x+（4﹣3n），k2＝2，k1＝k2；（3），k3＝2，弦錐的橫坐標(biāo)均相等．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，如圖4，易求出直線AC的解析式，由于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為k1，則其縱坐標(biāo)和點(diǎn)E的縱坐標(biāo)可得，于是PE的長(zhǎng)可用k1的代數(shù)式表示，然后利用可得△PAC的面積關(guān)于k1的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（2）先根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，根據(jù)點(diǎn)B的位置需分情況討論：①若n>0，如圖4，仿（1）題的思路用k2的代數(shù)式表示出PE的長(zhǎng)，然后利用可得△PAC的面積關(guān)于k2的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②若n<0，如圖5，仿①的思路可得，進(jìn)而可用k2的代數(shù)式表示出△PAC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；進(jìn)一步即可比較k1與k2的數(shù)量關(guān)系；

（3）先根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后仿（2）題的思路分兩種情況可得△PAC的面積關(guān)于k3的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可，然后根據(jù)前面3個(gè)小題的結(jié)果即可得出弦錐的橫坐標(biāo)的規(guī)律．

解：設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，

（1）當(dāng)m＝2，n＝1時(shí)，把A（1，2）、B（2，1）、C（3，﹣2）代入，得，解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+1，

∵A（1，2）、C（3，﹣2），∴直線AC的解析式為y＝﹣2x+4，

∵P（k1，﹣k12+2k1+1），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，如圖4，則點(diǎn)E（k1，﹣2k1+4），

∴，

∴，

∴當(dāng)k1＝2時(shí)，△PAC的面積最大；

（2）當(dāng)m＝2，n≠1時(shí)，把A（1，2）、B（2，n）、C（3，﹣2）代入，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣nx2+（4n﹣2）x+（4﹣3n），

①若n>0，∵P（k2，﹣nk22+（4n﹣2）k2+(4﹣3n)），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，如圖4，則點(diǎn)E（k2，﹣2k2+4），

∴=﹣nk22+（4n﹣2）k2+(4﹣3n)+2k2－4=﹣nk22+4nk2﹣3n，

∴，

∴當(dāng)k2＝2時(shí)，△PAC的面積最大；

②若n<0，如圖5，則=﹣2k2+4+nk22－（4n﹣2）k2－(4﹣3n)=nk22－4nk2+3n，

∴，

∴當(dāng)k2＝2時(shí)，△PAC的面積最大；

綜上，當(dāng)k2＝2時(shí)，△PAC的面積最大；

∴k1＝k2；

（3）當(dāng)m≠2，n≠1時(shí)，把A（1，2）、B（m，n）、C（3，﹣2）代入，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：，

則P（k3，），

①若，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，如圖4，則點(diǎn)E（k3，﹣2k3+4），

∴==，

∴，

∴當(dāng)k3＝2時(shí)，△PAC的面積最大；

②若，如圖5，則=，

∴，

∴當(dāng)k3＝2時(shí)，△PAC的面積最大；

綜上，當(dāng)k3＝2時(shí)，△PAC的面積最大；

綜上所述，過(guò)定點(diǎn)A、C，根據(jù)B在各種不同位置所得計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的拋物線系中，以此兩點(diǎn)為弦的弦三角的面積取得最大值時(shí)，弦錐的橫坐標(biāo)均相等．