Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，試確定的取值范圍．

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立， 不存在極值．當(dāng)時(shí)，

有極小值無極大值．（3）．

【解析】試題分析：

（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到的值，即可求解切線方程.

（2）由定義域?yàn)?/span>，求得，分和時(shí)分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求解函數(shù)的極值．

（3）根據(jù)題意在上遞增，得對恒成立，進(jìn)而求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ， ，

，又，∴切線方程為.

（2）定義域?yàn)?/span>， ，當(dāng)時(shí)， 恒成立， 不存在極值．

當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

所以當(dāng)時(shí)， 有極小值無極大值．

（3）∵在上遞增，∴對恒成立，即恒成立，∴．

點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知圓： 和點(diǎn)， 是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和相交于點(diǎn)， 的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）點(diǎn)是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，直線交于、兩點(diǎn)，直線， 的斜率分別是， ，若，求：①的值；②面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②.

【解析】試題分析：

（1）由圓的方程得圓心為，半徑為，可得， ，

所以曲線是， 為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，即可求解橢圓的方程；

（2）①由直線方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組，由，解得， ，根據(jù)，化簡得即可解得的值；

②由題意，利用均值不等式，即可求解面積的最大值.

試題解析：

（1）圓： 的圓心為，半徑為，點(diǎn) 在圓內(nèi)， ，

所以曲線是， 為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，

由， ，得，所以曲線的方程為．

（2）①設(shè)， ，直線： ，聯(lián)立方程組得

，

由，解得， ， ，

由知

，

且，代入化簡得，解得，

② （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．

綜上， 面積的最大值為.