Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè).

①若，曲線在處的切線過點(diǎn)，求的值；

②若，求在區(qū)間上的最大值.

（2）設(shè)在， 兩處取得極值，求證： ， 不同時(shí)成立.

Answer 1

【答案】（1）①或.②的最大值為0.（2）見解析.

【解析】（1）根據(jù)題意，在①中，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將點(diǎn)代入即求出的值，在②中，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究其單調(diào)性，并求出其極值，再比較端點(diǎn)值，從而求出最大值；（2）由題意可采用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)問題成立，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明其結(jié)果與假設(shè)產(chǎn)生矛盾，從而問題可得證.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， .

①若，則，

從而，

故曲線在處的切線方程為 .

將點(diǎn)代入上式并整理得 ，

解得或.

②若，則令，解得或.

（�。┤�，則當(dāng)時(shí)， ，

所以為區(qū)間上的增函數(shù)，

從而的最大值為.

（ii）若，列表：

所以的最大值為.

綜上， 的最大值為0.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與同時(shí)成立.

不妨設(shè)，則.

因?yàn)?/span>， 為的兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以 .

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)， ，

故為區(qū)間上的減函數(shù)，

從而，這與矛盾，

故假設(shè)不成立.

既不存在實(shí)數(shù)， ， ，使得， 同時(shí)成立.