【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè).
①若,曲線
在
處的切線過點(diǎn)
,求
的值;
②若,求
在區(qū)間
上的最大值.
(2)設(shè)在
,
兩處取得極值,求證:
,
不同時(shí)成立.
【答案】(1)①或
.②
的最大值為0.(2)見解析.
【解析】(1)根據(jù)題意,在①中,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,再將點(diǎn)代入即求出
的值,在②中,通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究其單調(diào)性,并求出其極值,再比較端點(diǎn)值,從而求出最大值;(2)由題意可采用反證法進(jìn)行證明,假設(shè)問題成立,再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性,證明其結(jié)果與假設(shè)產(chǎn)生矛盾,從而問題可得證.
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),
.
①若,則
,
從而,
故曲線在
處的切線方程為
.
將點(diǎn)代入上式并整理得
,
解得或
.
②若,則令
,解得
或
.
(。┤,則當(dāng)
時(shí),
,
所以為區(qū)間
上的增函數(shù),
從而的最大值為
.
(ii)若,列表:
所以的最大值為
.
綜上, 的最大值為0.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得
與
同時(shí)成立.
不妨設(shè),則
.
因?yàn)?/span>,
為
的兩個(gè)極值點(diǎn),
所以
.
因?yàn)?/span>,所以當(dāng)
時(shí),
,
故為區(qū)間
上的減函數(shù),
從而,這與
矛盾,
故假設(shè)不成立.
既不存在實(shí)數(shù),
,
,使得
,
同時(shí)成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線
的方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
(
).
(1)求曲線的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)曲線上有3個(gè)點(diǎn)到曲線
的距離等于1,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
(Ⅰ)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(Ⅱ)能否有的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)論,能否提供更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例?說明理由.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在
處的切線經(jīng)過點(diǎn)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次水下科研考察活動(dòng)中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè),根據(jù)已往經(jīng)驗(yàn),潛水員下潛的平均速度為(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間的用氧量為
(升),在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間,每單位時(shí)間用氧量為
(升),返回水面的平均速度為
(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間用氧量為
(升),記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為
(升).
(1)求關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若,求當(dāng)下潛速度
取什么值時(shí),總用氧量最少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從集合中,抽取三個(gè)不同的元素構(gòu)成子集
.
(1)求對(duì)任意的滿足
的概率;
(2)若成等差數(shù)列,設(shè)其公差為
,求隨機(jī)變量
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知城和城
相距
,現(xiàn)計(jì)劃以
為直徑的半圓上選擇一點(diǎn)
(不與點(diǎn)
,
重合)建造垃圾處理廠.垃圾處理廠對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān),對(duì)城
和城
的總影響度為對(duì)城
與城
的影響度之和.記點(diǎn)到
城
的距離為
,建在
處的垃圾處理廠對(duì)城
和城
的總影響度為
.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明:垃圾處理廠對(duì)城
的影響度與所選地點(diǎn)到城
的距離的平方成反比例關(guān)系,比例系數(shù)為4;對(duì)城
的影響度與所選地點(diǎn)到城
的距離的平方成反比例關(guān)系,比例系數(shù)為
.當(dāng)垃圾處理廠建在
的中點(diǎn)時(shí),對(duì)城
和城
的總影響度為0.065.
(1)將表示成
的函數(shù).
(2)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性,并判斷在上是否存在一點(diǎn),使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城
和城
的總影響度最小?若存在,求出該點(diǎn)到城
的距離;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國內(nèi)某汽車品牌一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用表示,據(jù)統(tǒng)計(jì),隨機(jī)變量
的概率分布如下:
(1)求的值;
(2)假設(shè)一月與二月被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該汽車品牌在這兩個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴次的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)).它與曲線
交于
兩點(diǎn).
(1)求的長;
(2)在以為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)
的極坐標(biāo)為
,求點(diǎn)
到線段
中點(diǎn)
的距離.
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