Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，上頂點為，若直線的斜率為1，且與橢圓的另一個交點為， 的周長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線（直線的斜率不為1）與橢圓交于兩點，點在點的上方，若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由的周長為，可得，由直線的斜率為可得，

由直線的斜率，得，結合求出從而可得橢圓的標準方程；（2）先求出，由可得，直線的方程為，則，聯立，所以，根據韋達定理列出關于的方程求解即可.

試題解析：（1）因為的周長為，所以，即，

由直線的斜率，得，

因為，所以，

所以橢圓的標準方程為.

（2）由題意可得直線方程為，聯立得 ，解得，所以， 因為，即，

所以，當直線的斜率為時，不符合題意，

故設直線的方程為，由點在點的上方，則，聯立，所以，所以，消去得 ，所以，得，

又由畫圖可知不符合題意，所以，

故直線的斜率為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數量積公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.