Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)之后，通過(guò)對(duì)分子的二次函數(shù)的圖像進(jìn)行討論，依次得到在不同范圍中時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中所求在不同范圍時(shí)的單調(diào)區(qū)間，得到的圖像，通過(guò)圖像找到恒成立所需條件，從而求得的取值范圍.

（1）

①當(dāng)時(shí)，

令，解得，，且

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；

②當(dāng)時(shí)，

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；

③當(dāng)時(shí)，令，解得，，并且

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；

④當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是

⑤當(dāng)時(shí)，令，解得，，且

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是和

（2）由及（1）知，

①當(dāng)時(shí)，，不恒成立，因此不合題意；

②當(dāng)時(shí)，需滿足下列三個(gè)條件：

⑴極大值：，得

⑵極小值：

⑶當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，，故

所以；

③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

所以；

④當(dāng)時(shí)，

極大值：

極小值：

由②中⑶知，解得

所以

綜上所述，的取值范圍是