Question

【題目】如圖，已知在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn),

（1）試在棱上確定一點(diǎn)，使平面平面，說明理由；

（2）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

⑴取中點(diǎn)，然后證明面，面即可得證

⑵建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，運(yùn)用夾角公式求出二面角的余弦值

（1）取中點(diǎn)，則中點(diǎn)即所求的點(diǎn).理由如下：

分別為的中點(diǎn)，.

又面，面.面.

易知四邊形ABMP為平行四邊形，所以，面，面，

面.

又，平面平面.

（2）由題意知兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則向量，，，.

由點(diǎn)在棱上，設(shè)，.

故.

由，得，因此，解得.

即.

設(shè)為平面的法向量，

則即.

不妨設(shè)，可得平面的一個法向量為.

取平面的法向量，

則.

易知，二面角是銳角，

所以其余弦值為.