【題目】如圖,五邊形中,四邊形
為長方形,
為邊長為
的正三角形,將
沿
折起,使得點
在平面
上的射影恰好在
上.
(Ⅰ)當時,證明:平面
平面
;
(Ⅱ)若,求平面
與平面
所成二面角的余弦值的絕對值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題
(Ⅰ)作,垂足為
,依題意得
平面
,則
,
平面
,
,結(jié)合勾股定理可得
,則
平面
,平面
平面
.
(Ⅱ)由幾何關(guān)系,以為
軸建立空間直角坐標系,由題意可得平面
的法向量
,平面
的法向量
.計算可得平面
與平面
所成二面角的余弦值的絕對值為
.
試題解析:
(Ⅰ)作,垂足為
,依題意得
平面
,
,
又,
平面
,
利用勾股定理得,同理可得
.
在中,
平面
,又
平面
,
所以平面平面
(Ⅱ)連結(jié),
,
,
,又四邊形
為長方形,
.
取中點為
,得
∥
,連結(jié)
,
其中,
,
由以上證明可知互相垂直,不妨以
為
軸建立空間直角坐標系.
,
,
設(shè)是平面
的法向量,
則有即
,
令得
設(shè)是平面
的法向量,
則有即
令得
.
則
所以平面與平面
所成二面角的余弦值的絕對值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知空間幾何體中,
與
均為邊長為
的等邊三角形,
為腰長為
的等腰三角形,平面
平面
,平面
平面
.
(1)試在平面內(nèi)作一條直線,使直線上任意一點
與
的連線
均與平面
平行,并給出詳細證明;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示,試做如下操作:把x軸上的區(qū)間
等分成n個小區(qū)間,在每一個小區(qū)間上作一個小矩形,使矩形的右端點落在函數(shù)
的圖像上.若用
表示第k個矩形的面積,
表示這n個叫矩形的面積總和.
(1)求的表達式;
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明,并求出
的表達式
(3)求的值,并說明
的幾何意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為
,
為
軸上的點.
(1)過點作直線
與
相切,求切線
的方程;
(2)如果存在過點的直線
與拋物線交于
,
兩點,且直線
與
的傾斜角互補,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
,其中
,點
是橢圓
的右頂點,射線
:
與橢圓
的交點為
.
(1)求點的坐標;
(2)設(shè)橢圓的長半軸、短半軸的長分別為
、
,當
的值在區(qū)間
中變化時,求
的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,以為焦點,
為頂點且開口方向向左的拋物線過點
,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面
是邊長為2的正方形,
底面
,四棱錐
的體積
,M是
的中點.
(1)求異面直線與
所成角的余弦值;
(2)求點B到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)
.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在,使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)定義:如果實數(shù)滿足
, 那么稱
比
更接近
.對于(2)中的
及
,問:
和
哪個更接近
?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知方程的曲線是圓C,
(1)若直線l:與圓C相交于M、N兩點,且
(O為坐標原點),求實數(shù)m的值;
(2)當時,設(shè)T為直線n:
上的動點,過T作圓C的兩條切線TG、TH,切點分別為G、H,求四邊形TGCH而積的最小值.
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