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【題目】以下四個命題:①設(shè),則
是
的充要條件;②已知命題
、
、
滿足“
或
”真,“
或
”也真,則“
或
”假;③若
,則使得
恒成立的
的取值范圍為{
或
};④將邊長為
的正方形
沿對角線
折起,使得
,則三棱錐
的體積為
.其中真命題的序號為________.
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【題目】在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”,在鱉臑中,
平面
,且
為
的中點,則異面直線
與
所成角的正弦值為( )
A.B.
C.
D.
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【題目】小郭是一位熱愛臨睡前探究數(shù)學(xué)問題的同學(xué),在學(xué)習(xí)向量三點共線定理時,我們知道當(dāng)P、A、B三點共線,O為直線外一點,且時,x+y=1(如圖1)第二天,小郭提出了如下三個問題,請同學(xué)幫助小郭解答.
(1)當(dāng)x+y>1或x+y<1時,O、P兩點的位置與AB所在直線之間存在什么關(guān)系?寫出你的結(jié)論,并說明理由
(2)如圖2,射線OM∥AB,點P在由射線OM、線段OA及BA的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運動,且,求實數(shù)x的取值范圍,并求當(dāng)
時,實數(shù)y的取值范圍.
(3)過O作AB的平行線,延長AO、BO,將平面分成如圖3所示的六個區(qū)域,且,請分別寫出點P在每個區(qū)域內(nèi)運動(不含邊界)時,實數(shù)x,y應(yīng)滿足的條件.(不必證明)
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,直線
與
相切,求
的值;
(2)若函數(shù)在
內(nèi)有且只有一個零點,求此時函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時,若函數(shù)
在
上的最大值和最小值的和為1,求實數(shù)
的值.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點為
的坐標(biāo)滿足圓
方程
,且圓心
滿足
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線
交橢圓
于
、
兩點,過
與
垂直的直線
交圓
于
、
兩點,
為線段
中點,若
的面積
,求
的值.
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【題目】如圖,在四棱錐 中,底面
為矩形,
平面
,二面角
的平面角為
,
為
中點,
為
中點.
(1)證明:平面
;
(2)證明:平面平面
;
(3)若,求實數(shù)
的值,使得直線
與平面
所成角為
.
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【題目】某區(qū)的區(qū)人大代表有教師6人,分別來自甲、乙、丙、丁四個學(xué)校,其中甲校教師記為,乙校教師記為
,丙校教師記為
,丁校教師記為
.現(xiàn)從這6名教師代表中選出3名教師組成十九大報告宣講團,要求甲、乙、丙、丁四個學(xué)校中,每校至多選出1名.
(1)請列出十九大報告宣講團組成人員的全部可能結(jié)果;
(2)求教師被選中的概率;
(3)求宣講團中沒有乙校教師代表的概率.
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【題目】對于集合,
,
,
.集合
中的元素個數(shù)記為
.規(guī)定:若集合
滿足
,則稱集合
具有性質(zhì)
.
(I)已知集合,
,寫出
,
的值;
(II)已知集合,
為等比數(shù)列,
,且公比為
,證明:
具有性質(zhì)
;
(III)已知均有性質(zhì)
,且
,求
的最小值.
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【題目】定義“矩陣”的一種運算,該運算的意義為點
在矩陣的變換下成點
設(shè)矩陣
已知點
在矩陣
的變換后得到的點
的坐標(biāo)為
,試求點
的坐標(biāo);
是否存在這樣的直線:它上面的任一點經(jīng)矩陣
變換后得到的點仍在該直線上?若存在,試求出所有這樣的直線;若不存在,則說明理由.
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【題目】如圖所示,是某海灣旅游區(qū)的一角,其中
,為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境,旅游區(qū)管委會決定在直線海岸
和
上分別修建觀光長廊
和AC,其中
是寬長廊,造價是
元/米,
是窄長廊,造價是
元/米,兩段長廊的總造價為120萬元,同時在線段
上靠近點
的三等分點
處建一個觀光平臺,并建水上直線通道
(平臺大小忽略不計),水上通道的造價是
元/米.
(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項目,要求
的面積最大,那么
和
的長度分別為多少米?
(2) 在(1)的條件下,建直線通道還需要多少錢?
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