【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族,己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征()和嚴(yán)重急性呼吸綜合征()等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒()是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中,感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭,甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒,需要檢驗(yàn)血液是否為陽性,現(xiàn)有n)份血液樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方式:

方式一:逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n.

方式二:混合檢驗(yàn),將其中k)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).

若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這k份再逐份檢驗(yàn),此時這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p.現(xiàn)取其中k)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

1)若,試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式

2)若p與干擾素計(jì)量相關(guān),其中)是不同的正實(shí)數(shù),

滿足)都有成立.

i)求證:數(shù)列等比數(shù)列;

ii)當(dāng)時,采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少,求k的最大值

【答案】1,(,且.2)(i)見解析(ii)最大值為4.

【解析】

1)由題設(shè)可知的所有可能取值為1,求,再根據(jù),;

2)()當(dāng)時,,∴,令,則,

利用數(shù)學(xué)歸納法證明;

)由()可知,由可知,再設(shè)函數(shù)),利用函數(shù)的單調(diào)性求的最大值.

1)解:由已知,,,得,

的所有可能取值為1,

,.

.

,則,,∴,∴.

p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為,(,且.

2)(i)∵證明:當(dāng)時,,∴,令,則

,∴下面證明對任意的正整數(shù)n.

①當(dāng),2時,顯然成立;

②假設(shè)對任意的時,,下面證明時,

由題意,得,∴,

,,

,.

(負(fù)值舍去).成立.

∴由①②可知,為等比數(shù)列,.

ii)解:由(i)知,,,∴,得,∴.

設(shè)),,∴當(dāng)時,,即上單調(diào)減.

,,∴,..

k的最大值為4.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,,,的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)若,求二面角的大小.

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【題目】已知圓的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則曲線的極坐標(biāo)方程為.

1)求圓的普通方程與的直角坐標(biāo)方程;

2)點(diǎn)是曲線上一點(diǎn),由向圓引切線,切點(diǎn)分別為,求四邊形面積的最小值.

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【題目】某人某天的工作是駕車從地出發(fā),到兩地辦事,最后返回地,,三地之間各路段行駛時間及擁堵概率如下表

路段

正常行駛所用時間(小時)

上午擁堵概率

下午擁堵概率

1

03

06

2

02

07

3

03

09

若在某路段遇到擁堵,則在該路段行駛時間需要延長1小時.

現(xiàn)有如下兩個方案:

方案甲:上午從地出發(fā)到地辦事然后到達(dá)地,下午從地辦事后返回地;

方案乙:上午從地出發(fā)到地辦事,下午從地出發(fā)到達(dá)地,辦完事后返回地.

1)若此人早上8點(diǎn)從地出發(fā),在各地辦事及午餐的累積時間為2小時,且采用方案甲,求他當(dāng)日18點(diǎn)或18點(diǎn)之前能返回地的概率.

2)甲乙兩個方案中,哪個方案有利于辦完事后更早返回地?請說明理由.

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【題目】已知函數(shù)=lnx+ax2+(2a+1)x

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a﹤0時,證明

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【題目】設(shè)實(shí)數(shù)滿足,其中.實(shí)數(shù)滿足.

1)若,且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2)非是非的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

1)求單調(diào)區(qū)間與極值;

2)當(dāng)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)時,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖,某市管轄的海域內(nèi)有一圓形離岸小島,半徑為1公里,小島中心O到岸邊AM的最近距離OA2公里.該市規(guī)劃開發(fā)小島為旅游景區(qū),擬在圓形小島區(qū)域邊界上某點(diǎn)B處新建一個浴場,在海岸上某點(diǎn)C處新建一家五星級酒店,在A處新建一個碼頭,且使得ABAC滿足垂直且相等,為方便游客,再建一條跨海高速通道OC連接酒店和小島,設(shè).

1)設(shè),試將表示成的函數(shù);

2)若OC越長,景區(qū)的輻射功能越強(qiáng),問當(dāng)為何值時OC最長,并求出該最大值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線的極坐標(biāo)方程

(2)射線與曲線分別交于兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),定點(diǎn),的面積.

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